Che cos’è lo spazio newtoniano?

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Secondo Newton: “Lo spazio assoluto, per sua natura, senza rapporto con alcunché di esterno, rimane sempre uguale e immobile.” Da dove nasce questa idea di uno spazio assoluto che fa da sfondo agli accadimenti del mondo e che rimane immobile come la cornice di un grande quadro?

1. L’origine mitologica dell’idea di uno spazio assoluto

L’origine di questa idea è antichissima. Uno dei primi problemi problemi con cui hanno avuto a che fare i primi filosofi era questo: se una zolla di terra cade verso il basso, come mai la terra tutta non cade verso il basso, ma se ne sta immobile?

Il primo tentativo di soluzione arrivò da Talete, che disse: la terra non cade perché è appoggiata come una zattera su un immenso oceano d’acqua. Questa soluzione presenta due evidenti problemi:

  1. Se io lancio una zolla di terra nel mare, questa sprofonda: come mai allora la terra (che, dopotutto, è un grande zolla) non sprofonda anch’essa?
  2. Anche ammesso che la terra non sprofondi, abbiamo il problema di spiegare su cosa poggia l’acqua. Anche l’acqua infatti cade verso il basso.

La soluzione di Talete dava luogo a quella i filosofi chiamano un regresso all’infinito, un errore per cui, invece di trovare la soluzione a un problema, lo spostiamo all’infinito. Se infatti dicessimo che l’acqua poggia, a sua volta, su qualche cosa (un fantomatico oggetto X), avremmo poi il problema di spiegare su cosa poggia questo qualcosa, e così via all’infinito.

Una soluzione decisamente migliore venne trovata da un allievo di Talete, Anassimandro, che ebbe un’idea geniale. Anassimandro capì che il problema stava nel modo in cui Talete aveva interpretato la caduta dei corpi. Cosa vuol dire cadere? si chiese. Se cadere significa andare verso il basso, allora è evidente che il nostro problema non ha soluzione. Ma se cadere significasse andare verso il centro, allora avremmo risolto il problema. Quando una zolla di terra viene lasciata cadere, questa non cade verso un generico basso, ma cade verso il centro dell’universo. La ragione per cui la terra non cade è che la terra si trova già nel centro dell’universo. In questo modo non abbiamo più bisogno di pensare che la terra debba per forza poggiare su qualcosa per spiegare la sua immobilità. Possiamo immaginarla sospesa al centro dell’universo.

Ma perché la terra dovrebbe fermarsi proprio nel centro dell’universo? Per rispondere a questa domanda dobbiamo fare un passo indietro e rivolgerci ai grandi miti cosmogonici. Un mito cosmogonico è un dramma nel quale le forze della natura si spartiscono le diverse province del mondo (cielo, terra, regno infero) fissando per ciascuna di esse le leggi.

Ad esempio, nello Scongiuro bilingue a Šamaš (siamo in Mesopotamia), un componimento in lode al dio Sole (Utu), i grandi dei si comportano come sovrani conquistatori: occupano un territorio, lo consolidano e attribuiscono gli incarichi agli altri dei di rango inferiore. In questo modo, il mondo diventa una confederazione di Stati, ciascuno dei quali è retto da un proprio monarca, e riceve una legge che lo governa. Nel mondo arcaico l’ordine del mondo non sorge mai spontaneamente o in virtù di una qualche legge di natura, ma è sempre il risultato di una conquista, di un’imposizione, di un assoggettamento da parte delle potenze del mondo.

Come Talete, anche Anassimandro muove dall’osservazione del mondo naturale, e nota che l’universo è formato da quattro elementi comparativamente omogenei: acqua, terra, aria e fuoco. Ciascun elemento occupa una diversa regione del cosmo. La terra, come abbiamo visto, è sospesa al centro, non sorretta da nulla. Su di essa poggia la massa liquida del mare; poi c’è lo spazio aperto dell’aria, del vapore e delle nuvole. Infine vi sono le alte sfere dei cieli, dalle cui forature filtra la luce del fuoco cosmico che avvolge e riscalda la terra. Finché gli elementi rimangono segregati nelle loro rispettive province, l’esistenza dell’universo e la vita delle creature che albergano in esso è garantita.

Ma c’è un problema: gli elementi non sono semplicemente diversi, sono anche contrari: l’acqua è fredda e umida, il fuoco è caldo e secco, la terra è fredda e secca, l’aria (intesa qui nel senso di vapore) è calda e umida. Il caldo scaccia il freddo, il secco scaccia l’umido: ogni elemento è in guerra con tutti gli altri e tende spontaneamente a distruggerli per prendere il loro posto.

Ma che accadrebbe se uno dei contrari, dopo essere stato generato, prendesse il sopravvento sugli altri? In questo caso, l’ordine stesso del mondo verrebbe distrutto. Bisogna quindi che esista un potere superiore, una forza capace di tenere a bada la furia degli elementi, punendo ogni possibile trasgressione. La famosa sentenza di Anassimandro ci parla proprio di questo:

Gli esseri si distruggono in quelle stesse cose dalle quali sorgono, secondo ciò che è decretato; infatti essi pagano reciprocamente il riscatto e la pena dell’ingiustizia commessa secondo l’ordine del tempo.

Gli esseri di cui si parla all’inizio di questo frammento sono innanzitutto le cose particolari, i singoli enti, come l’uomo o le piante, che abitano la terra. Questi sono il risultato della mescolanza e, per così dire, dell’impasto tra i quattro elementi. Il corpo di un uomo, ad esempio, è costituito tanto di parti solide (come la carne e le ossa) che sono riconducibili alla terra, quanto di parti liquide (come il sangue e gli umori) che invece derivano dall’acqua. Il calore emanato dal corpo dipende dal fuoco, mentre il bisogno di respirare denota la sua dipendenza dall’aria.

Gli esseri particolari sono il risultato dello sconfinamento degli elementi dai luoghi cui erano stati originariamente assegnati. In quanto tali, essi sono corpi contaminati, ricettacolo dell’ingiustizia commessa nei confronti dell’ordine cosmico. È necessario, quindi, che l’ordine venga ripristinato, e che gli esseri si dissolvano in quegli stessi elementi da cui erano sorti (la terra alla terra, l’acqua all’acqua, ecc.) «secondo ciò che è decretato». In questo modo, gli elementi «pagano reciprocamente il riscatto e la pena per l’ingiustizia» che hanno commesso cercando di invadere i rispettivi domini.

Non solo gli animali, ma lo stesso alternarsi delle stagioni dell’anno è un segno tangibile della tracotanza degli elementi. D’estate prevale il caldo, d’inverno il freddo, in primavera il secco e in autunno l’umido: ciascuna forza aggredisce l’altra per poi pagarne la pena, «secondo l’ordine del tempo.»

Ora, questa dottrina è l’esatta riproduzione – però in chiave secolarizzata – dello schema archetipico che abbiamo già riscontrato nel mito: iniziale suddivisione degli elementi a partire da uno sfondo indifferenziato, loro assoggettamento a un potere sovraordinato che ne assegna i rispettivi domini. L’unica differenza sta nel fatto che Anassimandro fa scomparire gli dèi personificati del mito dalla scena manifesta della sua descrizione. Non dalla scena latente, però, perché i fenomeni naturali continuano a essere interpretati con le categorie antropologiche della colpa, della pena e della riparazione, e perché il mondo è ancora tenuto nei cardini da una remota potenza morale.

Non sappiamo come Anassimandro chiamasse questa potenza, ma Omero ed Esiodo la chiamavano moira, un termine che ha finito per assumere il significato di destino individuale, ma che originariamente significava “parte”, “porzione assegnata”, come risulta da questo passo di Omero, dove Poseidone dice: “Non voglio vivere secondo i disegni di Zeus: per quanto potente, se ne resti tranquillo nella terza parte assegnatagli.” (ἐὼν μενέτω τριτάτῃ ἐνὶ μοίρῃ)» (Il. XV, 195)

Dopo questa lunga digressione siamo così in grado di rispondere alla nostra domanda iniziale: perché la terra deve stare nel centro dell’universo? La risposta è: perché così è stato decretato dalla legge morale del cosmo, la legge che ha assegnato le parti a ciascuna cosa allo scopo di mantenere la giustizia.

La soluzione di Anassimandro verrà accettata da Aristotele, ma con una variante. Anche per Aristotele, la terra si trova al centro dell’universo, non perché vi sia tenuta da una potenza morale, ma perché quello è il suo luogo naturale. In questo senso, la teoria aristotelica dei luoghi naturali può essere vista come una razionalizzazione dell’antico concetto di moira. Il luogo naturale spiega perché, quando lanciamo un sasso in aria, questo sale in alto per qualche metro per poi ritornare in basso. In questo modo Aristotele getta le basi per quella che, più tardi, verrà chiamata la concezione tolemaica dell’universo, per la quale:

  1. Il luogo naturale dei corpi solidi è il centro dell’universo.
  2. La terra è un corpo solido.
  3. La terra è al centro dell’universo.

La concezione tolemaica dell’universo riposa su una serie di assunti di base sulla natura dello spazio fisico. Infatti, se diciamo che esiste un centro dell’universo, ne consegue che:

  1. Un corpo che è immobile rispetto al centro dell’universo è assolutamente immobile.
  2. Un corpo che si muove rispetto al centro dell’universo è assolutamente in movimento.
  3. È possibile (almeno in linea di principio) individuare un sistema di coordinate in quiete assoluta che ci permette di determinare lo stato di quiete o di moto di tutti gli oggetti presenti in esso.

Questo sistema di coordinate in quiete assoluta non è nient’altro che lo spazio assoluto che “rimane sempre uguale e immobile” di cui parla Newton. È molto importante ricordare questo fatto perché si tende a pensare che la meccanica newtoniana si basi su assunti radicalmente diversi rispetto alla fisica aristotelica. Ciò è vero, naturalmente, ma solo in parte. Newton abbandona l’idea aristotelica che la terra si trovi in uno stato di quiete assoluta, ma continua a pensare che esista uno spazio assoluto, una cornice assolutamente immobile rispetto alla quale è idealmente possibile determinare lo stato di quiete o di moto assoluto dei corpi. Questo assunto, ben più profondo e pervasivo dell’assunto geocentrico, verrà messo in discussione solo da Einstein.

2. Il carattere euclideo dello spazio newtoniano

La meccanica newtoniana non solo si fonda sull’assunto che lo spazio fisico sia assoluto, ma assume anche che questo spazio sia di natura euclidea. Questo significa:

  1. Che tutte le asserzioni e i teoremi dedotti dalla geometria euclidea possono venire confermati anche empiricamente, per mezzo di misurazioni reali.
  2. Che, pertanto, la geometria euclidea può essere impiegata per derivare le equazioni della meccanica (calcolo di distanze, angoli, posizioni, ecc.) senza timore di smentita da parte dell’esperienza.

Facciamo un esempio: su un cd possiamo individuare due cerchi concentrici: uno più interno e più piccolo, che chiameremo C, e un altro più grande che chiameremo C’, e che coincide con il bordo esterno del cd.

Adesso immaginiamo di voler determinare la circonferenza di C e C’ usando la geometria euclidea. Per farlo, dobbiamo procurarci un righello e misurare i raggi delle due circonferenze. Supponiamo per comodità di calcolo che il raggio di C sia 1 cm e che il raggio di C’ sia di 10 cm. La formula per la circonferenza è:

(1) C = 2πr

Con C = circonferenza; r = raggio e la costante π ≈ 3,14

Per cui:

(2) C = 2 · 3,14 · 1 = 6,82 cm

(3) C’ = 2 · 3,14 · 10 = 62,8

Notate che in questo caso noi non misuriamo empiricamente la lunghezza delle circonferenze, ma la deduciamo per mezzo di un calcolo, ipotizzando che la geometria euclidea funzioni nel mondo empirico.

Supponiamo però di voler verificare anche empiricamente la correttezza dei nostri calcoli. Per farlo dobbiamo misurare con il nostro righello la lunghezza delle circonferenze, dividendola in piccoli segmenti di retta. Questo metodo è soggetto a un piccolo margine di errore, naturalmente, ma noi ci accontenteremo di una misura approssimativamente corretta per dirci soddisfatti. Ebbene, se facessimo una cosa del genere, scopriremmo che Euclide aveva ragione: C e C’ hanno effettivamente la lunghezza che avevamo dedotto per mezzo del calcolo. La geometria euclidea sembra quindi funzionare. Dico sembra perché le cose non stanno così. Ma per capirlo dovremmo capire cosa c’è che non va nella meccanica newtoniana.

3. Lo spazio newtoniano e il principio di relatività galileiano

Torniamo all’idea che lo spazio sia qualcosa di assoluto. Scrive Newton che, se la terra si muove, allora il “moto vero e assoluto” di un corpo che si trovasse in una nave in movimento rispetto alla terra, “deriverà in parte dal moto vero della terra nello spazio immobile, in parte dal moto relativo della nave sulla terra”.

Ma se si muove anche la terra, come facciamo a stabilire qual è il sistema di coordinate assoluto? “Può essere”, scrive infatti Newton, “che non esista alcun corpo realmente in quiete, al quale riferire i luoghi e i moti degli altri corpi”.

Questo non ci deve preoccupare più di tanto, perché esiste un principio, scoperto da Galileo, che ci consente di usare luoghi e movimenti relativi anziché assoluti, senza alcun inconveniente per i nostri calcoli e per le nostre attività comuni. Si tratta del principio di relatività galileiano. Questo principio ha un’enorme importanza per il nostro discorso, perciò vediamo di cosa si tratta.

Per capire cos’è il principio di relatività galileiano è necessario spiegare prima cos’è un sistema di riferimento. Un sistema di riferimento non è, come qualcuno talvolta crede, un osservatore umano, ma è qualunque cosa mi permetta di individuare la posizione di un oggetto nello spazio. Se io dico: “Il negozio di scarpe si trova a destra della chiesa” sto usando la chiesa come sistema di riferimento per individuare la posizione del negozio. I sistemi di riferimento sono necessari non solo per individuare la posizione, ma anche per individuare il movimento degli oggetti. L’affermazione: “Il treno si sta muovendo” ha senso solo rispetto a un determinato sistema di riferimento: rispetto alle rotaie, ad esempio o – che è lo stesso – rispetto alla terra su cui sono fissate le rotaie. Di solito non ci preoccupiamo di esplicitare il sistema di riferimento degli oggetti in movimento, perché diamo per scontato che questo sistema di riferimento sia la terra. Così l’affermazione: “Il treno si muove” significa in realtà: “Il treno si muove rispetto alla terra.” E l’affermazione: “Il treno è fermo” significa: “Il treno è fermo rispetto alla terra.” Da Copernico sappiamo però che la terra, a sua volta, non è ferma, ma ruota su se stessa e orbita intorno al sole. Per cui l’affermazione che il treno è fermo è vera in un senso relativovera rispetto alla terra, ma falsa rispetto al sole (questo non è ancora il principio di relatività galileiano: pazientate ancora un po’).

In fisica, un sistema di riferimento è rappresentato in modo più astratto da un sistema di assi cartesiani (quelli che avete studiato a scuola). Gli assi cartesiani che definiscono le dimensioni dello spazio sono tre: x, y e (x=lunghezza; y=altezza; z=profondità). I tre assi si incrociano sempre in un punto, detto origine, e che viene indicata con la lettera O. L’origine è il punto di riferimento a partire dal quale possiamo individuare tutti gli altri punti o oggetti nello spazio (quello che, nel nostro esempio iniziale, era la chiesa). Ogni punto nello spazio è adesso identificabile da tre numeri: uno per la lunghezza, uno per l’altezza e l’altro per la profondità. Così, se scrivo P (3, 2, 1) intendo dire che il punto P si trova a 3 unità di lunghezza sull’asse x (rispetto a O), a 2 di altezza sull’asse y (rispetto a O) e a 1 da z (sempre rispetto a O).

Adesso che abbiamo definito un sistema di riferimento torniamo al il principio di relatività galileiano. Per capire di cosa si tratta, facciamo questo esperimento ideale. Supponiamo per un istante che il geocentrismo sia vero, e che la terra si trovi pertanto in uno stato di quiete assoluta. Immaginiamo che una nave si trovi ormeggiata in un porto. Poiché la nave è immobile rispetto alla terra, e poiché la terra è in quiete assoluta, anche la nave sarà in quiete assoluta. Adesso immaginiamo di salire a bordo della nave e di prendere alloggio in una cabina che non ha aperture verso l’esterno. In altre parole non ci sono oblò o finestre che ci consentono di guardare fuori dalla nave. Ci chiudiamo nella cabina e ci accorgiamo che da una tubatura che si trova sul soffitto cadono delle gocce d’acqua a intervalli regolari. Per evitare che la cabina si allaghi decidiamo di mettere un recipiente sotto la perdita, in modo tale da raccogliere l’acqua. L’unico oggetto che fa al caso nostro, però, è un vaso per fiori dal collo molto stretto. Noi lo posizioniamo con grande cura, assicurandoci che l’apertura del vaso si trovi esattamente a perpendicolo rispetto alla perdita d’acqua. In questo modo, saremo sicuri che le gocce d’acqua cadranno dentro il vaso e non sul pavimento.

Fatta questa operazione ci mettiamo a dormire per qualche tempo. Mentre stiamo dormendo, la nave molla gli ormeggi e inizia a muoversi di un moto rettilineo e costante rispetto alla terra a una velocità di 10 nodi all’ora. Direte voi: ma una nave non può muoversi in linea retta rispetto alla terra, dal momento che la superficie della terra è curva. Vero, però per gli scopi del nostro esperimento ideale vi devo chiedere di ignorare questo dettaglio. Su una distanza breve la curvatura della terra è trascurabile, per cui possiamo supporre senza alcun danno che la nave proceda in linea retta. Visto che siete in vena di concessioni, vi chiederò anche di immaginare che il nostro esperimento venga condotto in una giornata senza vento, e che il mare sia liscio come uno specchio. Adesso immaginiamo di svegliarci dal nostro pisolino. Quando apriamo gli occhi sulla stanza, le cose sono esattamente come le avevamo lasciate. Il tubo continua a perdere acqua, e l’acqua continua a cadere in verticale sul vaso di fiori che la raccoglie. Adesso il vaso contiene più acqua di quando lo avevamo lasciato. Ma, a parte questo, tutto è esattamente come prima. Adesso però ci stiamo muovendo di un moto rettilineo uniforme; un moto che, in base alle nostre assunzioni iniziali, è assoluto. Eccoci arrivati al punto. Chiediamoci: esiste un modo per noi di capire che ci stiamo muovendo? C’è qualche fenomeno osservabile all’interno della cabina che ci permetta di capire che stiamo navigando? Vi ricordo che non ci sono oblò, per cui non possiamo guardare fuori per accertarci del moto. La risposta è: no, non è possibile. Questo fatto può essere espresso con il linguaggio della fisica dicendo che le leggi della meccanica hanno sempre la stessa forma nei sistemi di riferimento inerziali. Per capire il senso di questa frase bisogna capire cosa si intende per “sistema di riferimento inerziale”. Un sistema di riferimento N (così chiamato in onore alla nave) si dice inerziale se si trova in una di queste due condizioni:

  1. Se è in uno stato di quiete assoluta (come quando la nave è ormeggiata al porto).
  2. Se si muove a una velocità costante e rettilinea rispetto a un sistema di riferimento T (così chiamato in onore alla terra) che si trova in quiete assoluta (come quando la nave si muove rispetto alla terra).

Il principio di relatività galileiano ci dice, insomma, che i fenomeni accadono esattamente allo stesso modo (hanno la stessa forma), sia che stiamo fermi, sia che ci muoviamo a una velocità rettilinea e costante. Questa è la ragione per cui sopra dicevo che non ci dobbiamo preoccupare di stabilire se esistono corpi realmente in quiete oppure no, al quale riferire i luoghi e i moti degli altri corpi. Per le nostre investigazioni sarà sufficiente assumere che il nostro sistema di riferimento sia inerziale.

Ma come facciamo a capire quando un sistema di riferimento non è inerziale? Lo capiamo perché, in un sistema non inerziale, i fenomeni accadono in un modo diverso. Torniamo nella cabina della nostra nave e immaginiamo che la nave inizi ad accelerare sempre di più: da 10 nodi all’ora passa a 20 e poi a 30, 40 ecc. Se la nave accelera, ce ne accorgiamo da una serie di indizi chiaramente osservabili. Ad esempio:

  1. Ci sentiamo spinti da una forza verso la poppa della nave.
  2. Le gocce d’acqua che filtrano dalla tubatura non cadono più a perpendicolo, ma cadono in obliquo, finendo fuori dal vaso, nella direzione della poppa della nave. Questo fenomeno è causato dalla stessa forza che spinge me verso la poppa.

Questa variante all’esperimento ci permette di capire meglio cos’è un sistema inerziale. Un sistema inerziale è un sistema sul quale non agiscono forze esterne. Viceversa, un sistema non inerziale sarà un sistema sul quale agiscono delle forze esterne. Quando in un sistema fisico non agiscono forze esterne (cioè quando è inerziale) i corpi che si trovano al suo interno permangono in uno stato di inerzia. Ciò significa: se quei corpi sono fermi (rispetto al sistema che li contiene), rimangono fermi. Se invece quei corpi si muovono di un moto rettilineo uniforme (sempre rispetto al sistema che li contiene), continuano a muoversi di un moto rettilineo uniforme (ovviamente qui stiamo ignorando, e non dovremmo, la presenza della forza di gravità).

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2 pensieri su “Che cos’è lo spazio newtoniano?

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